中学受験算数で場合の数を取りきるための解き方

中学受験算数で場合の数を取りきるための解き方

ある条件が起こる場合、それが何通りあるのかを求めるのが「場合の数」です。中学受験の算数において場合の数は非常に多く出題される単元です。確実に点数をとれるようにしておきましょう。

樹形図を用いる

中学受験の算数は、計算ではなく書き出すことができれば解ける問題が多く、樹形図を用いることで効率的に答えを導くことができます。「順列」、「組み合わせ」は計算で解くこともできますが、樹形図で求めることもできます。樹形図を書くときには、問題文に書かれている順番に従って書くようにしましょう。また、「〇人の中から△人を選ぶ」といった問題の場合は、ABCなど自分が分かりやすい名前を付けて樹形図を書きましょう。樹形図を書くと数字だけでは分かりにくかった部分が視覚で判断できるので、問題が解きやすくなります。

受験本番では、1問にかけられる時間が少ないため、計算を使って解いた方がはやく解ける場合は計算を用いるようにしましょう。ただし、計算だけに頼り切ってしまうと思考力を必要とする問題が解けないということになります。日々の勉強の中で樹形図を書くようにすることで思考力を身につけるということを怠らないようにしましょう。

場合分けの重要性について

場合分けの問題を解くとき、どの視点で場合分けをするのかを見極める必要があります。間違った視点に立ってしまうと、考えなくてもいい可能性についてまで考えてしまったりと必要のない時間を費やしてしまうことになります。問題で問われている内容をきちんと理解し、正しい視点に立って場合分けをすることが大切です。

余事象を考える

たとえば0を含むカード数枚から偶数となる場合を求めるとき、偶数を求めようとするのではなく、全体から奇数を引いた方が答えをはやく出すことができます。余事象を使って解ける問題はうまく活用していきましょう。中学受験は時間とのたたかいです。解答を導くための最短ルートを常に探しながら問題を解くようにしましょう。

場合の数の問題演習

●例題
次のそれぞれの場合の数は何通りになりますか。
(1) 【0】、【1】、【2】、【3】、【4】の5枚のカードのうち、3枚を並べて3けたの整数をつくる。
(2) 【7】、【8】、【9】、【0】の4枚のカードのうち、3枚を並べて3けたの奇数をつくる。
(3) 【A】、【B】、【C】、【D】の4枚のカードを【A】と【B】がいつもとなり合うように1列に並べる。
●解き方
(1) 3枚のカードを並べてそれぞれ百の位、十の位、一の位とします。百の位から何通りあるかを考えていきますが、このとき、【0】という数は百の位には入らないので注意が必要です。そのため、百の位には、1、2、3、4のどれかが入るので4通り、十の位には、百の位に入ったカード以外の4通り、一の位には百の位と十の位に選ばれていないカードの3通りが入ります。
よって、3×3×4=48(通り)が答えとなります。
(2) 奇数を作らなければならないので、一の位を奇数、7の場合と9の場合に分けて考えていきます。
一の位が7の場合は、百の位は0以外の8か9なので2通り、十の位は、0と使われていないカードなので2通りとなります。一の位が9の場合も同様のため、2×2+2×2=8(通り)が答えとなります。
(3) AとBがいつもとなり合わなくてはならないので、AとBをひとつのかたまりとしてとらえ、ABのかたまりとCのカード、Dのカードの3つのカードを並びかえていくという考え方をしていきます。
3つのものを並べるので、3×2×1。そして、ABのかたまりがABと並んでいる場合と、BAと並んでいる場合の2通りあるので、3×2×1×2=12(通り)が答えとなります。
●例題
大小2個のさいころをふるとき、目の和が6以下になる確からしさを求めなさい。
●解き方
まず、さいころの目が6以下になる場合を考えます。
大きいさいころが1の場合、小さいさいころは1、2、3、4、5
大きいさいころが2の場合、小さいさいころは1、2、3、4
大きいさいころが3の場合、小さいさいころは1、2、3
大きいさいころが4の場合、小さいさいころは1,2
大きいさいころが5の場合、小さいさいころは1
大きいさいころが6出てしまうと6以下にならないので調べる必要はありません。
5+4+3+2+1=15(通り)
確からしさを求めるには、全体の場合の数を求めます。
大きいさいころの目の出方6通り、小さいさいころの目の出方6通りのため、6×6=36(通り)
全体のうちの求めたい数なので、15/36(通り)、約分して 5/12(通り)が答えとなります。
●例題

右の図の線上を通って、AからBまで遠回りしないで行くとき、途中でCを通って行く方法は何通りありますか。

 

●解き方

 

 

Aから遠回りせずに途中でCを通る道順なので、
青い線のところしか通ることが出来ません。

 

 

 

 

 

 

AからCまで遠回りせずにCまで行くときの道順を
考えてみると10通りあるということが分かります。

 

 

 

 

 

次にCからBまで遠回りせずに行くときの道順を考えます。
AからCまでに行くために10通りあるということは、
左の図のようになります。

30通り+30通りで60通りが答えとなります。

 

 

 

場合の数は計算で答えを出すことができる問題が多いですが、計算だけで解き切ろうとすると、それだけでは解けない問題に直面した時にどう考えれば良いのか分からず、後々苦戦してしまうことになります。計算で解く際にもなぜそうなるのか?を常に考えながら問題を解いていくことが必要です。中学受験算数で場合の数の問題を取りきるためには、日々の問題演習の中で思考力を身につけながら学習を進めていきましょう。

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