規則性とは？等差数列・群数列・数表の考え方【510-13】

規則性とは、数・図形・記号などの並びに共通している決まりのことです。小学生向けには、「ならび方のルール」と考えると分かりやすいでしょう。

中学受験算数では、規則性の問題として、等差数列、周期的なくり返し、群数列、数表、図形の並びなどが出てきます。大切なのは、公式を覚えることだけではありません。まず小さく書き出し、何がどのように変化しているのかを見つけることが重要です。

1．規則性とは？まず意味を確認

規則性とは、数や図形などの並びに見られる一定の決まりのことです。

たとえば、次の数の並びを見てください。

この並びでは、前の数に3を足すと次の数になります。つまり、「3ずつ増える」という規則があります。

次のような並びも規則性の一例です。

こちらは、「○→△→□」の3つがくり返されています。

規則性の問題では、このような並び方の決まりを見つけて、何番目に何がくるのか、全部でいくつあるのか、どこまでの合計はいくつかなどを考えます。

2．規則性と数列の違い

「規則性」と「数列」は似た言葉ですが、まったく同じ意味ではありません。

規則性は、数・図形・記号などに見られる「並び方の決まり」を広く表す言葉です。一方、数列は、数を一定の順番で並べたものを指します。

たとえば、

は数の並びなので数列です。そして、「3ずつ増える」という規則性があります。

一方、

にも規則性がありますが、数ではないため数列とは呼びません。

中学受験では「規則性」という単元の中で数列を扱うことが多いため、まずは「数列は規則性の問題の一種」と考えておくと分かりやすいでしょう。

3．規則性では何を求める問題が出る？

規則性の問題では、単に「次の数を答える」だけではありません。中学受験では、次のようなものを求める問題があります。

• 何番目の数を求める
• ある数が何番目にあるかを求める
• 最初からある数まで何個あるかを求める
• 並んでいる数の合計を求める
• くり返しの中で何番目に何がくるかを求める
• 群に分かれた並びの位置を求める
• 数表の何行何列にあるかを求める
• 図形の個数や増え方を調べる

同じ規則性でも、何を求めるかによって考え方は変わります。計算を始める前に、「何番目」「何個」「合計」など、問題で何を聞かれているのかを確認することが大切です。

4．規則性にはどんな並び方がある？

規則性には、いくつか代表的な並び方があります。規則性全体に共通する1つの公式があるわけではなく、並び方の種類によって見るポイントや使う考え方が異なります。

周期的なくり返しと群数列の違い

この2つは混同しやすいので、違いを確認しておきましょう。

周期的なくり返しは、同じまとまりが何度もくり返される並びです。

赤、青、黄｜赤、青、黄｜赤、青、黄｜……

では、「赤・青・黄」という同じ3個のまとまりが続きます。

一方、群数列では、グループごとに個数などが変化します。

1｜2,3｜4,5,6｜7,8,9,10｜……

この場合、第1グループは1個、第2グループは2個、第3グループは3個というように、グループの大きさ自体に規則があります。

5．等差数列の考え方

等差数列とは、となり合う数の差が一定になっている数列です。

たとえば、

では、どの数も前の数より3大きくなっています。この「3」を公差といいます。

何番目の数を求める

最初の数が5で、3ずつ増えるとき、10番目の数を考えてみましょう。

1番目の5から10番目まで進む間に、3を足す回数は9回です。

5＋3×9＝32

したがって、10番目の数は32です。

一般に、等差数列のn番目は次のように考えられます。

「n」ではなく「n−1」になる点が重要です。1番目からn番目まで移動する回数はn−1回だからです。

ある数が何番目かを求める

5、8、11、14、……の中で、32が何番目かを考えます。

まず、最初の数5から32まで、3が何回増えたかを求めます。

（32−5）÷3＝9

これは「9回進んだ」という意味です。最初の5が1番目なので、

9＋1＝10

したがって、32は10番目です。

項数を求める

たとえば、

4、7、10、……、40

のように3ずつ増える数列があるとします。

4から40までの差は36です。

36÷3＝12

これは増えた回数なので、最初の1個を加えます。

12＋1＝13個

したがって、項数は13個です。

減っていく等差数列

等差数列は増える場合だけではありません。

30、26、22、18、……

のように4ずつ減る並びも等差数列です。

この場合は、「4ずつ減る」という規則を使います。増加と減少の違いはありますが、考え方は同じです。

等差数列の和

等差数列では、並んでいる数の合計を求める問題もあります。

たとえば、

1＋2＋3＋……＋10

を考えます。

最初と最後、2番目と最後から2番目を組にすると、

1＋10＝11
2＋9＝11
3＋8＝11

のように、同じ和の組を作れます。

等差数列の和は、

と考えられます。

1から10までなら、

（1＋10）×10÷2＝55

です。

「一定数ずつ増える」と「何倍かになる」は別

規則性では、となり合う数の差だけでなく、何倍になっているかを見る問題もあります。

たとえば、

2、4、8、16、32、……

は、毎回2倍になっています。これは等差数列ではありません。

「いくつ増えたか」と「何倍になったか」を混同しないようにしましょう。

6．周期的なくり返しの考え方

同じ並びが一定の周期でくり返される問題では、1周期に何個あるかを最初に確認します。

たとえば、

では、4個で1周期です。

50番目の色を求めるなら、

50÷4＝12あまり2

となります。

あまり2なので、1周期の2番目にあたる青が答えです。

あまりが0になる場合

たとえば、48番目なら、

48÷4＝12あまり0

です。

あまり0は「何もない」という意味ではありません。1周期の最後、つまり4番目にあたります。この例では緑です。

周期の問題では、あまり0の扱いを間違えないようにしましょう。

7．群数列の考え方

群数列とは、数の並びがいくつかのグループに分かれていて、そのグループの作り方にも規則がある数列です。

たとえば、

と並んでいるとします。

• 第1グループ：1個
• 第2グループ：2個
• 第3グループ：3個
• 第4グループ：4個

という規則です。

群数列を考える順番

群数列では、いきなり目的の数を探すのではなく、まず各グループまでに何個あるかを確認します。

20番目がどこにあるか考えると、第5群までで15個、第6群までで21個あります。

したがって、20番目は第6群に入ります。

第6群の中で何番目かは、

20−15＝5

なので、第6群の5番目です。

群数列で考え方が分からなくなったときは、式を先に作るのではなく、各グループの個数と累計個数を小さく書き出してみましょう。「どのグループに入るか」と「その中の何番目か」を分けるだけでも、考える内容を整理しやすくなります。

8．数表の考え方

数表とは、数を一定の規則にしたがって行と列に並べた表です。中学受験では、数表の中で、ある数が何行何列にあるかを考える問題などが出てきます。

たとえば、1から順に5個ずつ横に並べるとします。

行と列から数を求める

4行目の3列目を求めるとします。

4行目の最初の数は16なので、3列目は18です。

式で考えるなら、4行目より前には3行あります。1行に5個なので、

5×3＝15

そこから3列目まで進むため、

15＋3＝18

となります。

数から行と列を求める

23が何行何列にあるか考えます。

23÷5＝4あまり3

5個ずつの行が4行完成したあとに3個進んでいるので、23は5行目の3列目です。

あまり0のとき

20の場合は、

20÷5＝4あまり0

です。

この場合、20は5行目ではなく、4行目の5列目です。

数表でも、周期の問題と同じように「あまり0」の扱いに注意しましょう。

9．図形の規則性の考え方

規則性は数だけでなく、図形の並びにもあります。

たとえば、正方形を横につなげていく問題では、正方形が1個増えるたびに必要な棒の本数が一定数ずつ増えることがあります。

このような問題では、完成した図形だけを見るのではなく、1段階前と比べて何が増えたかを確認します。

1. 最初の図形を数える
2. 次の図形と比べる
3. 増えた部分だけを見る
4. 毎回同じ増え方かを確認する
5. 表にして「図形の番号」と「個数」を対応させる

図形問題でも、個数を表にすると数列として考えられる場合があります。見た目だけで考えにくいときは、数に置き換えるのがポイントです。

10．規則性が苦手な子が最初にやること

等差数列、周期、群数列、数表などの考え方を確認しても規則性が苦手な場合は、最初から公式に当てはめようとせず、並び方そのものを観察してみましょう。

まずは次の順番で確認してみてください。

1. 最初の数個を書き出す
2. 前後の差を見る
3. 同じまとまりがくり返されていないかを見る
4. グループごとの個数が変化していないかを見る
5. 何番目・何個・合計のどれを聞かれているか確認する

規則性では、式を立てる前の観察が重要です。小さい番号で実際に確かめると、並び方の決まりを見つけやすくなります。

規則性の問題を解くときのメモの書き方

問題文を読んだだけで考え続けるのではなく、見つけた規則と求めるものを短く書き出します。

このように、問題の規則と求めるものを分けて書くと、途中で何を計算しているのか分かりやすくなります。

11．規則性の問題でよくある間違い

n番目なのにn回足してしまう

等差数列では、1番目からn番目までに増える回数はn−1回です。

たとえば、1番目が5で3ずつ増える場合、10番目を求めるときに3を10回足すのではなく、9回足します。

「何番目」と「何個あるか」を混同する

ある数が何番目かを求める問題と、最初から最後まで何個あるかを求める問題は似ていますが、答える内容が違います。

計算前に、問題文の「何番目」「何個」「合計」などの言葉を確認しましょう。

周期のあまり0を0番目と考える

あまり0は、その周期の最後を表します。4個で1周期なら、あまり0は4番目です。

群数列でいきなり目的の数を探す

群数列では、まずどの群に入るかを求めます。そのあとで、その群の何番目かを考えます。

数表の行と列を逆にする

「4行3列」と「3行4列」は別の場所です。縦と横のどちらを行・列としているかを、実際の表で確認しましょう。

書き出さずに公式だけで処理する

規則性は、問題ごとに並び方が異なります。覚えた公式にすぐ当てはめるのではなく、最初の数個を書き出して規則を確認することが大切です。

12．SAPIX5年生向けの使い方

SAPIXの算数では、数列・数表・規則性の問題を通して、並びを整理し、先の位置を考える力が求められます。

授業前後の整理としてこのページを使う場合は、次の内容を意識してください。

• 等差数列では「何番目の数」「項数」「和」を区別する
• 周期的なくり返しでは、1周期の個数と余りを確認する
• 群数列では「何グループ目の何番目か」を考える
• 数表では、小さく書き出して行と列の関係を確かめる

規則性の考え方は、後に扱う文章題、場合の数、グラフなどで、条件や並びを整理するときにも役立ちます。

他の単元も続けて確認する場合は、サピックス小5算数 15分まとめから単元を選べます。前後の学習内容を個別に確認する場合は、部分分数分解、旅人算もあわせて確認できます。

13．規則性のまとめ

規則性の問題では、公式を先に探すのではなく、まず並び方の決まりを見つけることが大切です。

• 等差数列では、となり合う数の差を見る
• 周期的なくり返しでは、1周期の個数を見る
• 群数列では、各グループの個数と累計を見る
• 数表では、1行の個数と余りを見る
• 図形では、1段階前から何が増えたかを見る

分からないときは、小さい数や番号で書き出して確かめましょう。「何が変わっているか」「何がくり返されているか」が見えると、そのあとに使う式の意味も理解しやすくなります。

規則性の次に確認するページ

規則性の内容を確認したあと、次に何を見ればよいかは、お子さまの状況によって異なります。関連ページを順番に見るのではなく、今どこで困っているかに合わせて確認先を選んでください。

※スマートフォンでは、表を横に動かしてご覧ください。

規則性のよくある質問

当塾でのSAPIX対策

規則性では、答えが合っているかだけでなく、どのように並びを見て、どこを書き出したかを確認することが大切です。

授業では理解できていても、家庭学習になると「何から書けばよいか分からない」「解き直しで同じところに時間がかかる」という場合は、規則性だけでなく、問題への取り組み方そのものを確認する必要があります。

SAPIX対策全体については、SAPIX対策についての案内も確認できます。