サピックス5年生「水そうとグラフ・容器をかたむける」でつまずいたら、まずこの3点を確認

サピックス小5算数「510-11 立体図形(2)」で扱う水そうとグラフ・容器をかたむける問題について、グラフの折れ曲がり、正面図のかき方、平均の高さの考え方を整理します。

問題が解けなくなったときは、まず次の3点を確認しましょう。

• グラフの折れ曲がり：水位の上がり方が変わった理由を考える
• 水そうの正面図：水が入っている部分の面積と高さを対応させる
• 容器をかたむける問題：水の体積が変わらないことを利用し、平均の高さを考える

今困っている内容がはっきりしている場合は、下の表から該当する解説へ進んでください。

つまずき別｜まず読むところ

図で確認｜本文で使う3つの見方

動画講義：水そうとグラフ・容器をかたむける

サピックス小5「510-11 立体図形(2)」について、授業前に押さえておきたい考え方を動画で確認できます。算数が苦手な生徒さん向けに、基本事項をコンパクトにまとめています。

この動画は、サピックスに通塾している小学5年生で、算数が苦手な生徒さん向けに「授業に入る前に見ておいてほしいポイント」をまとめた内容です。

重要な部分だけを絞ったコンパクトな講義となっていますので、基本事項の復習にご活用いただければ幸いです。

※本動画は、サピックスで使用されているテキストそのものの解説ではありません。あらかじめご了承ください。

小5算数の前後の単元も復習したい場合は、サピックス小5算数 15分まとめから確認できます。

1．グラフの折れ曲がりが分からないとき｜「何が変わったか」を見る

水そうのグラフでは、数字を読むだけでなく、水位の上がり方がどこで変わったかに注目します。

グラフが折れ曲がるのは、変化のしかたが切り替わるところです。まずは折れ曲がる前後の傾きを比べ、問題文や水そうの形と対応させましょう。

グラフの形から何が分かる？

たとえば、グラフが水平なら、水位が変わっていないことが分かります。しかし、水を入れていないと断定できるわけではありません。水が入る量と出る量が等しい場合にも、水位は一定になります。

グラフから分かる事実と、その理由として考えられる条件を区別することが大切です。

折れ曲がる前後を比べる

水そうの問題でグラフの傾きが変わる理由として、次のような場合が考えられます。

• 水を入れる速さが変わった
• 別の蛇口を開けるなど、水の出入りが変わった
• 水位が段差のある部分に達し、水が広がる水平断面の面積が変わった

同じ速さで水を入れていても、水が広がる面積が大きくなると、水位はゆっくり上がります。反対に、面積が小さくなると水位は速く上がります。

水そうの形とグラフの傾きの関係は、3．体積応用問題の数値例で確認できます。

まずは「この折れ曲がりでは何が変わったのか」を、問題文の条件と結びつけて説明できるか確認してみましょう。

2．水そうの図がかけないとき｜正面図とグラフを対応させる

水そうとグラフの問題では、最初から式を立てるのではなく、正面図とグラフを対応させるところから始めます。

正面図をかくと、水位がどこまで上がったか、途中に段差があるか、グラフの折れ曲がりが水そうのどの部分に対応するかを確認しやすくなります。

正面図に書き込む4つの情報

直方体の水そうでは、底面積は横幅と奥行きをかけた面積です。正面図だけでは奥行きが分からないこともあるため、問題文やほかの図に示された寸法も確認します。

また、段差のある水そうでは、高さによって水が広がる面積が変わることがあります。その場合は、面積が一定の部分ごとに分けて考えます。

グラフには「何分で何cm」を書き込む

グラフの各区間について、何分間で水位が何cm上がったかを確認します。

• 5分間で10cm上がった → 1分あたり2cm
• 2分間で6cm上がった → 1分あたり3cm

このように区間ごとの水位の上がり方を比べると、どこで変化が起きたかを判断しやすくなります。

ただし、1分あたりの水位の上昇と、1分あたりに入る水の体積は別の量です。水量を求めるときは、その高さで水が広がる面積も必要になります。

例題｜水平な部分も「意味のある区間」として読む

このグラフから、5分から8分までは水位が変わらなかったことが分かります。

その間に水を入れていなかったのか、水の出入りがつり合っていたのかは、問題文の条件を確認して判断します。

また、底面積が一定で60平方cmの水そうで、水位が5cm上がった場合、増えた水の量は次のように求められます。

60平方cm×5cm＝300立方cm

ここで使うのは、水そう全体の高さではなく、水位が増えた5cmです。

解き方を整理する4ステップ

1. 水そうの正面図をかき、必要な寸法を書き込む
2. グラフの折れ曲がりに印をつけ、各区間の時間と水位の変化を読む
3. 正面図のどの部分と、グラフのどの区間が対応するか確認する
4. 水の体積を求めるときは、水が広がる面積と高さを使う

この順番で考えると、図・グラフ・式のつながりを整理しやすくなります。

3．水位と水量が混乱するとき｜体積応用問題として整理する

水そうとグラフの問題は、グラフの読み取りと体積の計算を組み合わせた応用問題です。

特に大切なのは、水位は水面の高さ、水量は水の体積という違いを理解することです。

まず「水量＝底面積×水位」を使える条件を確認する

底面積が一定の直方体の水そうでは、次の関係が成り立ちます。

水量＝底面積×水位

また、水位が増えたときの水量は、次のように求められます。

増えた水量＝底面積×増えた高さ

たとえば、底面積が80平方cmの部分で水位が6cm上がった場合は、

80平方cm×6cm＝480立方cm

となります。

ただし、この計算は水位が上がった範囲で、水が広がる水平断面の面積が一定である場合に使えます。

段差のある水そうのように、途中で水が広がる面積が変わる場合は、面積が一定の部分ごとに体積を求め、必要に応じて合計します。

例｜水が広がる面積が変わるとグラフの傾きも変わる

毎分入る水の量は同じでも、水が広がる面積が60平方cmから120平方cmに変わると、1分間に上がる水位は6cmから3cmになります。

したがって、水位と時間のグラフでは、下の段に水が入っている間は傾きが急になり、上の段ではゆるやかになります。

ここで変わっているのは、水そうそのものの底面積ではなく、その高さで水が広がる水平断面の面積です。

水そうの形が途中で変わる問題では、グラフの折れ曲がりと、面積が切り替わる高さを対応させて考えましょう。

4．「平均の高さ」をいつ使う？｜容器を水平に戻して考える

容器をかたむける問題では、水の高さが場所によって異なるため、どの高さを使えばよいか迷いやすくなります。

ここで確認したいのは、容器をかたむけても、中に入っている水の体積は変わらないということです。水がこぼれたり、外から加わったりしない場合は、この関係を利用できます。

なお、静止している水の表面は地面に対して水平です。容器をかたむけると、容器の底や側面に対して水面が斜めに見えます。

なぜ平均の高さで考えられるのか

幅が一定の直方体の容器をかたむけたとき、水が容器の底全体に広がり、水面が両側面に達していて、水の断面を台形として考えられる場合は、両端の水の高さの平均を利用できます。

このとき、高い方と低い方の高さは、容器の底面に垂直な向きで測ります。水の断面が台形になるため、両端の高さの平均を使って、水平に戻したときの水の高さを求められます。

ただし、容器を大きくかたむけて水が片側に集まり、底の一部に水が接していない場合は、同じ考え方をそのまま使うことはできません。また、容器の形によっても計算方法が変わります。

例｜4cmと12cmなら平均の高さは8cm

幅が一定の直方体の容器をかたむけ、水が底全体に広がっている場合を考えます。水面が両側面に達し、水の断面が台形になっているとします。

容器の底面に垂直な向きで測った水の高さが、低い方で4cm、高い方で12cmだった場合、平均の高さは、

（4cm＋12cm）÷2＝8cm

となります。

水平に戻したときの底面積が50平方cmなら、水の体積は、

50平方cm×8cm＝400立方cm

です。

高い方の12cmだけを使うと水量を多く見積もり、低い方の4cmだけを使うと少なく見積もってしまいます。

そのため、このような基本例では、平均の高さを利用して水量を求めます。

平均の高さを確認する3ステップ

1. 容器の形と、水が入っている部分を図で確認する
2. 高いところと低いところの高さから、平均を使える条件か判断する
3. 水平に戻したときの高さを考え、底面積×高さで体積を求める

大切なのは、公式を覚えるだけでなく、なぜ平均の高さを使えるのかを図と結びつけて説明できることです。

5．家庭学習では何を直せばよい？｜問題数より先に基本動作を確認

水そうとグラフ、容器をかたむける問題で間違いが続く場合は、応用問題を増やす前に、どの段階でつまずいているかを確認しましょう。

解き直しでは、次の3点を中心に見直します。

1. グラフ：折れ曲がりの前後で、何分間に何cm水位が変わったかを説明する
2. 正面図：水位と水が広がる面積を対応させる
3. 平均の高さ：水平に戻したときの水量と、平均を使える条件を説明する

正面図をかかずに式だけで進めてしまう場合や、グラフの傾きが変わる理由を説明できない場合は、まず図とグラフの読み取りに戻るとよいでしょう。

保護者が確認できる4つの質問

家庭学習では、答えが合っているかだけでなく、次の質問で考え方を確認できます。

説明があいまいな場合は、すぐに難しい問題へ進む必要はありません。まずは、図・グラフ・式がそれぞれ何を表しているのかを自分の言葉で説明できることを目標にしましょう。

次に何を確認する？｜学習状況別の関連ページ

この単元だけを復習するか、小5算数全体を見直すかは、お子さんの学習状況によって異なります。

家庭学習だけでは整理しにくい場合｜当塾でのSAPIX対策

ここまでの内容を確認しても、正面図を自分でかけない、グラフの変化を説明できない、似た問題になると解き方が分からなくなるといった状態が続く場合は、問題を整理する考え方から見直すことも大切です。

当塾で扱うサポート内容

当塾では、サピックスに通塾しているお子さまの算数学習について、次のような方針でサポートしています。

• サピックスの進度に合わせて、つまずきやすい図形・グラフの単元を事前にフォローする
• 動画と個別指導を組み合わせ、正面図のかき方やグラフへの変化量の書き込みなど、具体的な解き方の定着を図る
• 水そうや容器をかたむける問題を、入試レベルの応用問題につながる形で整理する

家庭学習で同じつまずきをくり返している場合は、当塾でのSAPIX対策で、具体的なサポート内容をご確認いただけます。

よくある質問

水位と水量の違いは何ですか？

水位は水面の高さ、水量は水そうに入っている水の体積です。底面積が一定の直方体の水そうでは「水量＝底面積×水位」で求められます。途中で水が広がる面積が変わる場合は、面積が一定の部分ごとに体積を考えます。

水そうで水位の上がり方が変わるのはなぜですか？

水を入れる速さが変わった場合や、水が広がる水平断面の面積が変わった場合などが考えられます。同じ量の水を入れていても、面積が広い部分では水位がゆっくり上がり、せまい部分では速く上がります。グラフの折れ曲がりと水そうの形を対応させて確認しましょう。

容器をかたむける問題で、平均の高さはいつ使えますか？

幅が一定の直方体の容器で、水が底全体に広がり、水面が両側面に達していて、水の断面を台形として考えられる場合に使えます。容器の底面に垂直な向きで測った両端の高さが4cmと12cmなら、平均の高さは8cmです。ただし、水が底の一部にしか接していない場合や、容器の形が異なる場合は、単純な平均を使えないことがあります。

グラフから式を作るのが苦手な場合、どこから練習すればよいですか？

まず、グラフの各区間で「何分間に何cm水位が上がったか」を書き込みます。次に、その区間が水そうのどの部分に対応しているかを正面図で確認します。体積を求めるときは、水が広がる面積と増えた高さを使いましょう。

サピックスの授業前と授業後では、復習方法は変わりますか？

授業前は、グラフの折れ曲がり、正面図、平均の高さという基本の考え方を確認しておくと、授業中の説明を追いやすくなります。授業後は、実際の問題を解き直し、図とグラフを対応させられるか、式に使う数値の意味を説明できるかを確認しましょう。

動画と本文はどちらを先に見ればよいですか？

苦手なところがはっきりしている場合は、先に本文の該当箇所を読んでから動画を見ると、説明のどこに注目すればよいか整理しやすくなります。単元全体を確認したい場合は、冒頭の3つの図を見てから動画を視聴する方法もあります。

まとめ｜水そうとグラフは「図・グラフ・式」をつなげて考える

• グラフが折れ曲がったら、水位の変化のしかたと問題文の条件を確認する。
• 水そうの問題では、正面図とグラフを対応させる。
• 各区間で「何分間に何cm水位が変わったか」を読み取る。
• 水の体積は、面積が一定の部分ごとに「面積×高さ」で考える。
• 水が広がる水平断面の面積が変わると、同じ速さで水を入れても水位の上がり方が変わる。
• 容器をかたむける問題では、平均の高さを使える条件を確認する。

まずは手元の問題で、「折れ曲がりの理由を説明する」「正面図をかく」「平均の高さを使う理由を説明する」の3つができるか確認してみてください。

小5算数のほかの単元も復習したい場合は、サピックス小5算数 15分まとめから確認できます。

塾別対策

通常、塾ごとに異なるフォローが行われます。主な課題への対策として、授業内容の理解が追いつかない場合、カリキュラム内の問題が偏っている場合、または対策配布テキストの量が多すぎて問題の管理が難しい場合があります。

塾別対策