H51-03 平面図形
H51-03
平面図形
H51-03 平面図形
このページでは、サピックス小5算数 H51-03「平面図形」で扱う、角度、面積、三角形のころがり移動の基本を確認します。
授業前には動画で考え方の全体像をつかみ、授業後には図への書き込み方や解き方を見直せます。算数が苦手な生徒さんも、まずは図のどこに注目するかを確認してみてください。
このページで確認できること
- 円・おうぎ形の角度と半径の補助線
- 三角形・四角形・円・おうぎ形の面積の求め方
- 面積が等しい条件と面積の差の考え方
- 三角形のころがり移動の図の描き方
- 授業前チェック・ミニ演習・授業後の復習方法
ほかの単元の授業前チェックを探したい方は、サピックス小5算数 15分まとめ（単元一覧）をご覧ください。
平面図形とは｜小5で確認したい角度・面積・移動
平面図形とは、三角形、四角形、円、おうぎ形など、平面上で考える図形のことです。小5算数では、図形の名前や公式を覚えるだけでなく、角度、面積、補助線、図形の移動を図の中でどう見つけるかが大切になります。
サピックス小5算数 H51-03「平面図形」では、円やおうぎ形で半径を引く見方、面積が等しい条件の使い方、三角形のころがり移動などを確認します。まずは動画で3つのテーマの全体像をつかみ、その後で必要な項目を見直しましょう。
H51-03「平面図形」の授業前動画
角度・面積・ころがり移動について、授業に入る前に確認しておきたい考え方をまとめた動画です。
この動画は、サピックスに通塾している小学5年生で、算数が苦手な生徒さん向けに、「授業に入る前に見ておいてほしいポイント」をまとめた内容です。
重要な部分に絞ったコンパクトな講義ですので、基本事項の復習にもご活用ください。
※本動画は、サピックスで使用されているテキストそのものの解説ではありません。あらかじめご了承ください。
動画で確認する3つのテーマ｜角度・面積・ころがり移動
1. 円・おうぎ形の角度
必要に応じて半径の補助線を引き、二等辺三角形の性質を利用して角度を考えます。
2. 面積の求め方と等しい条件
底辺・高さ・半径・中心角を確認し、面積が等しい条件や、つけ足しを利用した考え方を整理します。
3. 三角形のころがり移動
回転の中心になる頂点と、地面に接する辺の変化を順番に図へ表します。
平面図形の面積の求め方で最初に見ること
面積を求めるときは、公式に数値を当てはめる前に、図のどこが底辺・高さ・半径・中心角にあたるかを確認します。必要な長さや角度が分からない場合は、図形を分けたり、補助線を引いたりして考えます。
| 図形・場面 | 最初に見ること | 考え方 |
|---|---|---|
| 三角形 | 底辺と高さ | 高さは底辺に対して垂直な長さです。斜めの辺をそのまま高さと見ないように注意します。 |
| 平行四辺形・台形などの四角形 | 底辺と高さ、または分け方 | そのまま公式を使えるか、三角形や長方形に分けると考えやすいかを確認します。 |
| 円・おうぎ形 | 半径、中心、中心角 | おうぎ形の面積は、中心角が円全体の何分のいくつかを使って考えます。 |
| 面積が等しい問題 | 同じ底辺、同じ高さ、共通する部分 | 直接計算する前に、面積が等しくなる条件や、つけ足すとそろう部分を探します。 |
図形ごとの面積の見方と計算例
三角形の面積では、底辺と高さの組み合わせを確認します。たとえば、底辺が8cm、高さが5cmなら、8×5÷2＝20より、面積は20cm2です。
四角形では、公式をそのまま使えるか、三角形や長方形に分けたほうがよいかを考えます。複雑な形でも、分ける・つけ足す・同じ部分を引くという見方で、計算しやすい形にできる場合があります。
円やおうぎ形では、半径と中心角を確認します。たとえば、半径6cm、中心角90°のおうぎ形は、円全体の4分の1です。円周率を3.14とすると、6×6×3.14×90÷360＝28.26より、面積は28.26cm2です。円周率の扱いは問題文の指示に合わせてください。
面積が等しい問題と、面積の差を求める問題
普通の面積計算では、必要な長さを使って面積を求めます。一方、「面積が等しい」「面積の差を求める」という問題では、計算する前に図形どうしの関係を見ることが大切です。
たとえば、同じ底辺をもつ2つの三角形で、頂点が底辺から同じ高さの位置にあれば、面積は等しくなります。また、2つの図形に同じ面積の部分をつけ足したり、取り除いたりすると、残った部分の面積を比較しやすくなる場合があります。
面積を求める式だけでなく、「なぜ等しいと言えるのか」を図の中で説明できるようにしておきましょう。
授業前チェック｜平面図形で確認したい4つのポイント
授業前にすべての問題を解ける必要はありません。動画を見たあと、次の4項目について、図に書き込みながら考えられるかを確認してください。
チェック1：角度と半径の補助線
- 円やおうぎ形の角度問題で、必要に応じて半径の補助線を引ける
- 半径が等しいことから、二等辺三角形を見つけられる
- 求めたい角が、どの三角形の角なのかを確認できる
チェック2：面積に必要な情報
- 三角形の底辺と高さを正しく対応させられる
- 四角形を分けたり、つけ足したりする方法を考えられる
- おうぎ形の半径と中心角を確認できる
チェック3：面積が等しい条件
- どの図形どうしの面積を比べるのか分かる
- 同じ底辺・同じ高さなどの条件を見つけられる
- 面積の差を考えるとき、共通部分やつけ足す部分に注目できる
チェック4：ころがり移動
- 回転の中心になる頂点を確認できる
- 地面に接する辺の順番を記録できる
- 途中と最後の三角形の位置を図に表せる
考えるときは、図を描く → 必要な補助線を引く → 条件を書き込む → 使う性質を選ぶ → 答えを図で確かめるという順番を意識すると、どこで迷ったかを振り返りやすくなります。
三角形のころがり移動で図に書くべき3つの情報
ころがり移動は、最後の位置だけを頭の中で想像すると、回数や向きを間違えやすい問題です。1回動かすごとに、次の3つを図に書き込みます。
| 書くこと | 確認する内容 | 見落としやすい点 |
|---|---|---|
| 中心になる頂点 | どの点を中心に回転するか | 1回ごとに中心になる頂点が変わることがあります。 |
| 地面につく辺 | 回転後にどの辺が下に来るか | 元の図のまま考えると、次に接する辺を取り違えやすくなります。 |
| 回転後の位置 | 動いたあとの三角形を描き直せているか | 最後だけでなく、途中の位置も順番に描くと確認しやすくなります。 |
また、求めるものが「点の動いた長さ」「通った部分の面積」「最後の位置」のどれなのかによって、注目する場所は変わります。問題文で何を求めるのかを確認してから、移動の様子を図に表しましょう。
平面図形でよく起きる見落とし
図形の性質や公式を知っていても、図の読み違いによって答えが合わなくなることがあります。特に次のような間違いに注意しましょう。
角度の問題での見落とし
- 別の三角形の角を、求めたい角と取り違えてしまう
- 補助線でできた三角形の性質を確認せずに計算してしまう
- 途中で求めた角度を図に書かず、計算の順番が分からなくなる
面積の問題での見落とし
- 斜めの辺を、底辺に垂直な高さだと思ってしまう
- 面積の差を求めるとき、引く部分を取り違えてしまう
- 同じ面積の部分を利用できることに気づかず、複雑な計算を始めてしまう
- おうぎ形の中心角の割合を確認せず、円全体の面積を使ってしまう
ころがり移動での見落とし
- 回転する回数や、次に接する辺を取り違えてしまう
- 回転の中心になる頂点が変わることを見落とす
- 点の移動した長さを求めるとき、回転半径となる辺の長さを取り違えてしまう
ミニ演習｜授業前に3問だけ手を動かす
答えを出すだけでなく、補助線や条件を図に書けるかも確認しましょう。角度・面積・ころがり移動から1問ずつ取り上げます。
演習1：角度
円周上の2点A・Bと中心Oがあり、OA＝OB。∠AOB＝80°のとき、∠OABは何度か。
見ること：OA＝OBの二等辺三角形を利用できるか。
演習2：面積の求め方
底辺が8cm、高さが5cmの三角形の面積を求める。また、同じ底辺をもつ三角形で面積が等しいとき、高さについて何が言えるか。
見ること：底辺と高さの関係を使って説明できるか。
演習3：ころがり移動
三角形ABCで、はじめに辺ABが地面についているとする。次に辺BC、さらに辺CAが地面につくようにころがすとき、1回目・2回目でどの点を中心に回るかを図に書く。
見ること：回転の中心になる頂点と、接する辺の順番を確認できるか。
図解：三角形がころがるときの回転中心
下の図は、正三角形ABCを右方向へころがす例です。辺ABが地面についている状態から、点Bを中心に回転して辺BCを接地させ、次に点Cを中心に回転して辺CAを接地させます。
※図は1辺が同じ長さの正三角形を、右方向へ連続して回転させたものです。1回目は点B、2回目は点Cを中心に、それぞれ時計回りに120°回転します。辺の長さと角度は変わらず、AB→BC→CAの順に地面へ接します。3つの状態を重ねて表示しています。
ミニ演習の答えと考え方
- 演習1：OAとOBはどちらも半径なので、三角形AOBは二等辺三角形です。∠OAB＝(180−80)÷2＝50°です。
- 演習2：8×5÷2＝20より、面積は20cm2です。また、同じ底辺で面積も等しい三角形は、高さも等しくなります。
- 演習3：辺ABから辺BCが地面につくときは点B、辺BCから辺CAが地面につくときは点Cを中心に回転します。AB→BC→CAの順番を図に書き、最後の三角形の位置も確認しましょう。
家庭学習・授業後の復習方法
平面図形の復習では、正解・不正解だけでなく、どこで考えにくくなったかを確認することが大切です。授業前チェックでできなかった項目や、ミニ演習で迷った問題を中心に見直しましょう。
解き直しで確認したいこと
- 角度：どの三角形の性質を使うか、自分で説明できるか
- 面積：計算に使う長さや、面積が等しい理由を説明できるか
- ころがり移動：途中の位置を含め、移動の順番を自分で描けるか
同じ問題を使った3段階の復習
- 1回目：図に条件や補助線を書き込みながら考える
- 2回目：答えだけでなく、なぜその考え方になるのかを説明する
- 3回目：解説を見ずに、必要な図を自分で描いて解き直す
一度にすべてを理解しようとするよりも、同じ問題を使って考え方を確認すると、理解を深めやすくなります。授業前の確認、授業後の見直し、週末の解き直しなどに分けて取り組んでみてください。
よくある質問｜平面図形の授業前チェック
Q. 図形問題で公式を覚えているのに解けないのはなぜですか？
公式を知っていても、図の中で必要な長さや角度を正しく見つけられないと、計算につなげられません。まずは底辺・高さ・半径・中心角などを図に書き込み、どの情報を使う問題なのかを確認しましょう。
Q. おうぎ形の角度問題では、必ず半径を引く必要がありますか？
必ずしも必要ではありません。角度を求めるときに、中心から円周上の点へ半径を引くことで二等辺三角形ができ、考えやすくなる場合があります。すでに分かっている角度や線を確認し、必要な補助線を選びましょう。
Q. ころがり移動で回数や向きを間違えるときは、どうすればよいですか？
最後の位置を一度に考えず、1回動くごとに図を描きましょう。回転の中心になる頂点と、地面に接する辺を順番に記録すると、どこで数え間違えたかを確認しやすくなります。
Q. サピックス小5の平面図形は、授業前にどこまでできればよいですか？
授業前にすべての問題を解ける必要はありません。半径の補助線、底辺と高さ、面積が等しい条件、ころがり移動の図の描き方など、授業で注目するポイントを確認できれば、授業に入りやすくなります。
Q. 動画を見たあと、何を復習すればよいですか？
角度・面積・ころがり移動のうち、図に書けなかったものを1つ選んでみてください。授業前チェックやミニ演習を使い、補助線や条件を自分で書き込みながら解き直すと、理解できていない部分を確認できます。
関連ページ｜サピックス小5算数のほかの単元
H51-03「平面図形」の確認が終わったら、ほかの単元でも授業前に見るポイントを整理しておくと、学習を進めやすくなります。
当塾でのサピックス算数対策
サピックスの学習の特徴についてはサピックスの特徴についての解説、当塾での指導については当塾のサピックス対策をご覧ください。
平面図形では、公式や答えを確認するだけでなく、図への書き込み、補助線、条件の見方を整理することが大切です。家庭での復習だけでは考え方が分かりにくい場合には、授業で使った問題やノートをもとに、角度・面積・ころがり移動のどこで手が止まったのかを確認しながら、次の授業につながる復習を進めていきます。
