510-04 倍数
サピックス小5の倍数・公倍数｜最小公倍数・あまり・規則性の考え方
「最小公倍数の出し方が途中で分からなくなる」「ベン図を使う問題で条件を整理しきれない」「あまりの問題になると、どの数から調べればよいか迷う」と悩んでいませんか。
倍数・公倍数は、サピックス5年生にとって、基本を理解したつもりでもテストで点を落としやすい単元の一つです。最小公倍数を求めるだけでなく、割り切れる数の分類、あまりの条件、規則性など、複数の考え方を組み合わせる問題が出てくるためです。
このページでは、動画講義とあわせて、倍数・公倍数・最小公倍数の基本から、割る数とあまりの関係、規則性と公倍数の考え方までを整理します。逆わり算やベン図については具体例も紹介しますので、授業前の予習や授業後の復習に活用してください。
この単元で先に押さえたいこと
- 倍数は、ある数を1倍、2倍、3倍と整数倍した数
- 公倍数は、2つ以上の数に共通する倍数
- すべての公倍数は、最小公倍数の倍数として表せる
- 「ある数で割るとあまる数」は、割る数の倍数＋あまりで整理する
- 規則性の問題では、くり返しの長さと最小公倍数に注目する
別の小5算数の単元を探している方へ
倍数・公倍数以外の単元を復習したい場合は、サピックス小5算数15分まとめ一覧から単元を選べます。
動画講義：サピックス5年生向け・倍数と公倍数のポイント
この動画は、サピックスに通塾している小学5年生で、算数に苦手意識がある生徒向けに、授業に入る前に確認しておきたいポイントをまとめたものです。
重要な部分に絞ったコンパクトな講義ですので、授業前の予習や基本事項の復習にご活用ください。
※本動画は、サピックスで使用されているテキストそのものを解説するものではありません。あらかじめご了承ください。
1．倍数・公倍数・最小公倍数の基本
まずは、この単元の土台となる「倍数」「公倍数」「最小公倍数」の意味を確認しましょう。言葉の意味が曖昧なままだと、あまりや規則性の問題でも式を立てにくくなります。
倍数と公倍数とは
- 倍数：ある数を1倍、2倍、3倍と整数倍した数
- 公倍数：2つ以上の数に共通している倍数
- 最小公倍数：公倍数のうち、最も小さい正の整数
たとえば、3の倍数と4の倍数は次のように並びます。
- 3の倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、……
- 4の倍数：4、8、12、16、20、24、28、……
両方に共通している12、24、36、……が、3と4の公倍数です。この中で最も小さい12が最小公倍数です。
公倍数は、最小公倍数の倍数として並びます。
3と4の最小公倍数が12なら、公倍数は12、24、36、48、……です。
最小公倍数を逆わり算で求める方法
複数の数の最小公倍数を求めるときは、逆わり算を使うことがあります。ここでは、12、18、24の最小公倍数を求めてみましょう。
逆わり算では、すべての数を同時に割れない場合でも、2個以上の数を同じ数で割れるなら計算を続けます。割れない数は、値を変えずにそのまま次へ移します。
逆わり算で注意すること
逆わり算の確認ポイント
- 2個以上の数を割り切れる数を探す
- 割れない数は、そのまま次へ移す
- これ以上2個以上を同時に割れなくなるまで続ける
- 最後に、使った割る数と残った数をすべてかける
- 求めた答えが、それぞれの元の数で割り切れるか確認する
共通して割れる数を探すときは「差」に注目する
2つの数に共通する約数を探すときは、数どうしの差が手がかりになることがあります。
たとえば、18と30の公約数を考えます。18と30の両方を割り切る数は、その差である12も割り切ります。
- 30－18＝12
- 18と30の公約数は、12の約数の中から探せる
- 12の約数のうち、18と30の両方を割り切る数は1、2、3、6
ただし、差の約数がすべて元の2数の公約数になるわけではありません。差の約数を候補として挙げたあと、元の数を本当に割り切れるか確認する必要があります。
公倍数と最小公倍数の関係を使う
公倍数が「最小公倍数の倍数」であることを使うと、次のような問題を整理しやすくなります。
- 何番目の公倍数かを求める問題
- ある範囲に公倍数がいくつあるかを求める問題
たとえば、6と8の最小公倍数は24です。5番目の公倍数は、24を5倍して求められます。
24×5＝120
また、1から200までに6と8の公倍数がいくつあるかを求める場合は、200の中に24がいくつ入るかを調べます。
200÷24＝8あまり8
したがって、1から200までには6と8の公倍数が8個あります。
ベン図で倍数の条件を整理する
「4で割り切れるが6では割り切れない数」や「4でも6でも割り切れない数」のように、複数の条件を分類する問題では、ベン図の考え方が役立ちます。
- 片方の円：4の倍数
- もう片方の円：6の倍数
- 重なっている部分：4と6の公倍数
- どちらの円にも入らない部分：4でも6でも割り切れない数
例として、1から30までの整数を分類してみましょう。
4と6の両方で割り切れる数
12、24
4で割り切れ、6では割り切れない数
4、8、16、20、28
6で割り切れ、4では割り切れない数
6、18、30
4と6の両方で割り切れる数は、4と6の公倍数です。4と6の最小公倍数は12なので、1から30まででは12と24が重なりの部分に入ります。
先に重なりの部分を確認してから、それぞれの円だけに入る数を整理すると、同じ数を重複して数えるミスを防ぎやすくなります。
倍数を順に調べるときのコツ
最小公倍数を倍数の書き出しで探す場合は、小さい方の数の倍数から順に調べると、計算を進めやすくなります。
ただし、数が大きい場合や3つ以上の数を扱う場合は、書き出す量が多くなります。そのようなときは、逆わり算を使う方が効率的です。
2．割る数とあまりの関係
倍数・公倍数の問題と深く結びついているのが、「割る数」と「あまり」の関係です。ここを理解しておくと、複数の条件に合う整数を探す問題にも対応しやすくなります。
「ある数で割るとあまる数」の表し方
「ある数で割ると、ある数だけあまる整数」は、次の形で表せます。
割る数の倍数＋あまり
たとえば、「5で割ると2あまる数」は、5の倍数に2を足した数です。
- 5×0＋2＝2
- 5×1＋2＝7
- 5×2＋2＝12
- 5×3＋2＝17
したがって、2、7、12、17、22、……と並びます。
なお、あまりは必ず割る数より小さくなります。「5で割ると7あまる」という状態はないため、この点も確認しておきましょう。
2つのあまり条件を満たす数の具体例
次の条件を両方満たす整数を考えます。
- 4で割ると1あまる
- 6で割ると3あまる
まず、4で割ると1あまる数を小さい順に書きます。
1、5、9、13、17、21、25、29、……
この中から、6で割ると3あまる数を探します。
- 9÷6＝1あまり3
- 21÷6＝3あまり3
- 33÷6＝5あまり3
したがって、条件を満たす数は9、21、33、45、……と並びます。
4と6の最小公倍数は12です。最初の9を見つけたあとは、12ずつ足すことで次の数を求められます。
9、9＋12＝21、21＋12＝33、……
複数のあまり条件を調べる流れ
- 片方の条件を満たす数を小さい順に書く
- もう片方の条件にも合う最初の数を探す
- 割る数どうしの最小公倍数を求める
- 最初の数に最小公倍数を足して、次の数を求める
問題によっては、あまりの条件の組み合わせによって、両方を満たす整数が存在しないこともあります。最小公倍数を足す前に、まず最初の1個が本当に見つかるかを確認することが大切です。
3．規則性と公倍数
サピックスでは、「規則性」と「公倍数」が結びついた問題も扱います。一定の間隔で繰り返される動きが、次にいつそろうかを考える問題です。
1セットの長さに注目する
時計の鐘や、決まった時間ごとに動く機械など、一定の周期で繰り返されるものは、次の順番で整理します。
- それぞれが何秒ごと、何分ごとに動くかを確認する
- 周期どうしの最小公倍数を求める
- 最小公倍数が、次に同時に動くまでの時間になるかを確認する
周期と最小公倍数の具体例
Aの鐘は6分ごと、Bの鐘は8分ごとに鳴ります。午前9時に2つの鐘が同時に鳴ったとき、次に同時に鳴る時刻を考えます。
6と8の最小公倍数は24です。
- Aの鐘：6分後、12分後、18分後、24分後、……
- Bの鐘：8分後、16分後、24分後、……
どちらも24分後に鳴るため、次に同時に鳴るのは午前9時24分です。
スタートを数えるか確認する
規則性と公倍数の問題では、計算が合っていても、数え方の違いで答えを間違えることがあります。
- スタート時点の0分を1回目として数えるのか
- 何回目を聞かれているのか
- 何分後を聞かれているのか
- 繰り返した回数と、経過時間のどちらを答えるのか
先ほどの例では、午前9時に鳴った回を1回目と数えるなら、午前9時24分は「2回目に同時に鳴る時刻」です。一方、「次に同時に鳴るのは何分後か」と聞かれた場合の答えは24分後です。
問題文を読み、何を数えるのか、何を答えるのかを明確にしてから計算しましょう。
4．サピックス5年生におすすめの復習方法
倍数、公倍数、最小公倍数、あまり、規則性は、別々の内容に見えても、数が一定の間隔で並ぶという点でつながっています。
算数に苦手意識がある場合は、次の順番で復習してみてください。
- 動画を見て、倍数・公倍数・最小公倍数の意味を確認する
- 簡単な数を使い、倍数を実際に書き出す
- 逆わり算で最小公倍数を求める
- ベン図を使い、割り切れる数を分類する
- 「割る数の倍数＋あまり」の形で数を並べる
- 周期の問題で、最小公倍数が何を表しているか確認する
やり方だけを覚えるのではなく、「求めた最小公倍数は何を表しているのか」「なぜ一定の間隔で同じ条件の数が現れるのか」を考えながら解くことが大切です。
5．よくある質問
倍数と約数の違いは何ですか？
倍数は、ある数を1倍、2倍、3倍とした数です。たとえば、4の倍数は4、8、12、16、……です。約数は、ある数を割り切ることができる整数です。たとえば、12の約数は1、2、3、4、6、12です。
最小公倍数は、いつも逆わり算で求めるのですか？
数が小さい場合は、倍数を順に書き出しても求められます。数が大きい場合や、3つ以上の数を扱う場合は、逆わり算の方が整理しやすいことがあります。問題の数に応じて使い分けましょう。
逆わり算では、すべての数を同時に割る必要がありますか？
すべてを同時に割れなくても、2個以上の数を同じ数で割れる場合は割ることができます。割れない数は、そのまま次へ移します。
あまりの問題では、なぜ最小公倍数を足すのですか？
2つの割る数の最小公倍数だけ増やすと、それぞれの数で割ったときのあまりが変わらないためです。ただし、最初に両方の条件を満たす数が存在するかを確認する必要があります。
公倍数の問題でミスを減らすにはどうすればよいですか？
最小公倍数を求めたあと、それぞれの元の数で割り切れるか確認しましょう。規則性の問題では、スタート時点を回数に含めるか、時間と回数のどちらを答えるかも確認してください。
6．関連する小5算数の記事
倍数・公倍数の復習が終わったら、現在つまずいている内容に合わせて、次に確認する単元を選びましょう。
サピックス小5算数を単元ごとに復習する
サピックス小5算数の15分まとめを一覧から選べます。授業で理解が曖昧だった単元や、テスト前に確認したい単元を探す場合にご活用ください。
概数と四捨五入を復習する
数の大きさや、どの位で四捨五入するのか迷う場合は、概数の考え方を確認できます。倍数・公倍数の直接的な続編ではありませんが、小5算数の数に関する基礎単元を続けて復習したい場合に適しています。
7．家庭学習で復習が進みにくい場合
倍数・公倍数の問題では、最小公倍数の計算だけでなく、条件の読み取り、ベン図による分類、あまりの扱い、周期の考え方が関係します。
記事と動画を使っても復習が進みにくい場合は、現在の学習状況に合う方法を選んでください。
サピックスの宿題量や進度にも悩んでいる保護者の方へ
単元の理解だけでなく、サピックスの授業進度や家庭学習の進め方そのものに悩んでいる場合は、SAPIXの費用と宿題量を保護者向けに解説したページも参考にしてください。
まとめ：倍数・公倍数を意味から理解しよう
- 倍数は、ある数を整数倍した数
- 公倍数は、2つ以上の数に共通する倍数
- 公倍数は、最小公倍数の倍数として並ぶ
- 逆わり算では、2個以上の数を同時に割れる間は割り続ける
- 割れない数は、値を変えずにそのまま次へ移す
- 2つの数の共通の約数は、その差も割り切る
- ベン図では、公倍数が2つの円の重なりに入る
- 「ある数で割るとあまる数」は、割る数の倍数＋あまりで表す
- 複数のあまり条件では、最初の数を見つけたあと、最小公倍数ずつ増やす
- 規則性の問題では、周期の最小公倍数と、スタート時点の数え方を確認する
倍数・公倍数・最小公倍数は、分数、比、割合、規則性など、この先の算数にもつながる重要な考え方です。
計算方法だけを覚えるのではなく、「どの数が条件を満たすのか」「求めた最小公倍数が問題の中で何を表しているのか」を確認しながら復習しましょう。
